Simbol akar (√) memiliki arti akar kuadrat dari sebuah bilangan. Simbol ini umumnya digunakan dalam aljabar maupun dalam bidang geometri atau perhitungan jarak dan ukuran. Jika terdapat lebih dari satu simbol akar dengan indeks yang berbeda, persamaan dapat disederhanakan dengan menyesuaikan indeksnya. Untuk mengalikan simbol akar dengan atau tanpa koefisien, dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut secara teliti.
Mengalikan Akar Tanpa Koefisien
Untuk mengalikan akar, pastikan terlebih dahulu bahwa akar-akarnya memiliki indeks yang sama. Indeks adalah angka kecil yang ditulis di kiri atas garis pada simbol akar. Jika tidak ada angka indeksnya, akar tersebut merupakan akar kuadrat (indeks 2) dan dapat dikalikan dengan akar kuadrat lainnya. Berikut adalah dua contoh perkalian menggunakan akar dengan indeks yang sama:
Contoh:
1. √(18) x √(2) = ?
2. √(10) x √(5) = ?
3. 3√(3) x 3√(9) = ?
Selanjutnya, kalikan angka-angka yang berada di bawah tanda akar dan letakkan di bawah tanda akar tersebut:
Jawaban:
1. √(18) x √(2) = √(36)
2. √(10) x √(5) = √(50)
3. 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)
Jika Anda mengalikan akar, kemungkinan hasilnya dapat disederhanakan menjadi kuadrat sempurna atau kubik sempurna, atau hasilnya dapat disederhanakan dengan mencari kuadrat sempurna yang merupakan faktor dari hasil perkalian:
Penyelesaian:
1. √(36) = 6. Karena 36 adalah kuadrat sempurna (hasil perkalian 6 x 6), akar kuadrat dari 36 hanya adalah 6.
2. √(50) = √(25 x 2) = √([5 x 5] x 2) = 5√(2). Meskipun 50 bukanlah kuadrat sempuna, 25 adalah faktor dari 50 dan merupakan kuadrat sempurna. Anda dapat menguraikan 25 menjadi faktor-faktornya, 5 x 5, dan mengeluarkan satu angka 5 keluar dari tanda akar kuadrat untuk menyederhanakan ekpresinya.
3. 3√(27) = 3. Karena 27 adalah kubik sempurna (hasil perkalian 3 x 3 x 3), akar kubik dari 27 hanya adalah 3.
Mengalikan Akar dengan Koefisien
Dalam mengalikan akar, terdapat beberapa langkah yang perlu diikuti agar hasil akhirnya dapat disederhanakan. Pertama, kalikan koefisiennya dengan mengalikan angka di luar akar. Apabila tidak ada angka koefisien yang tertulis, maka koefisiennya dianggap sebagai 1.
Sebagai contoh, jika terdapat persamaan 3√(2) x √(10), maka koefisien adalah 3 dan 1. Kedua koefisien tersebut kemudian dikalikan sehingga menghasilkan nilai 3. Setelah itu, kalikan angka yang berada di dalam akar. Dalam contoh ini, angka di dalam akar adalah 2 dan 10, yang kemudian dikalikan sehingga menghasilkan nilai 20.
Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan angka-angka di bawah akar. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari kuadrat sempurna atau kelipatan dari angka-angka yang ada di bawah akar yang merupakan kuadrat sempurna. Setelah itu, kalikan dengan koefisiennya.
Misalnya, untuk menghitung 3√(20), angka 20 dapat disederhanakan menjadi 4 x 5. Kemudian, 4 merupakan kuadrat sempurna dari 2 sehingga dapat dikeluarkan dari akar dan dikalikan dengan koefisiennya. Hasil akhirnya adalah 6√(5).
Contoh lain adalah persamaan 4√(3) x 3√(6), yang koefisiennya adalah 4 dan 3. Setelah dikalikan, koefisiennya menghasilkan nilai 12. Selanjutnya, angka di dalam akar, yaitu 3 dan 6, dikalikan sehingga menghasilkan nilai 18.
Kemudian, untuk menyederhanakan angka-angka di bawah akar, kita bisa membagi 18 menjadi 9 x 2. Karena 9 merupakan kuadrat sempurna dari 3, maka angka ini dapat dikeluarkan dari akar. Dengan mengalikan dengan koefisiennya, hasil akhirnya adalah 36√(2).
Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat mengalikan akar dengan koefisien dan menyederhanakan hasilnya agar lebih mudah dipahami.
Mengalikan Akar Dengan Indeks Berbeda
Untuk mengalikan akar dengan indeks berbeda, perlu dicari KPK (kelipatan perkalian terkecil) dari kedua indeks tersebut. Caranya adalah dengan mencari angka terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua indeks. Misalnya, pada persamaan 3√(5) x 2√(2) = ?, indeksnya adalah 3 dan 2. KPK dari kedua angka ini adalah 6 karena 6 merupakan angka terkecil yang dapat dibagi habis oleh baik 3 maupun 2 (6/3 = 2 dan 6/2 = 3).
Setelah menemukan KPK dari kedua indeks, langkah selanjutnya adalah mengubah kedua indeks menjadi 6 untuk mempermudah penghitungan. Untuk mengalikan akar dengan indeks baru, perlu mengubah kedua indeks asli menjadi indeks baru yang sama dengan KPK.
Misalnya, untuk persamaan 3√(5) x 2√(2) = ?, untuk ekspresi 3√(5), perlu mengalikan indeks 3 dengan 2 untuk mendapatkan indeks baru 6. Sedangkan untuk ekspresi 2√(2), perlu mengalikan indeks 2 dengan 3 untuk mendapatkan indeks baru 6.
Setelah kedua indeks sudah sama, selanjutnya adalah mengalikan angka di dalam akar dengan eksponen indeksnya. Misalnya, untuk ekspresi 3√(5), perlu mengalikan angka 5 dengan eksponen indeks baru 2 menjadi 5^2, sedangkan untuk ekspresi 2√(2), perlu mengalikan angka 2 dengan eksponen indeks baru 3 menjadi 2^3.
Setelah itu, letakkan hasil perkalian di bawah satu akar dan hubungkan keduanya dengan tanda perkalian. Misalnya, untuk persamaan 3√(5) x 2√(2) = ?, hasil perkalian 6√(5^2) dan 6√(2^3) dapat diubah menjadi 6√(5^2 x 2^3).
Terakhir, kalikan angka-angka di dalam akar dan sederhanakan jika memungkinkan. Misalnya, pada persamaan 3√(5) x 2√(2) = ?, hasil akhirnya adalah 6√(200). Namun, dalam beberapa kasus, ekspresi ini masih dapat disederhanakan jika ditemukan faktor yang sama pada kedua angka.
Penghitungan Ekspresi dengan Tanda Akar dan Koefisien
Ketika melakukan operasi dengan tanda akar, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Jika sebuah “koefisien” dipisahkan dari tanda akar dengan tanda tambah atau kurang, maka itu bukanlah koefisien – angka itu adalah suku terpisah dan harus dikerjakan terpisah dari akar. Contohnya, jika dalam suatu ekspresi terdapat (2 + (akar)5), Anda harus menghitung 2 dan (akar)5 secara terpisah saat melakukan operasi di dalam tanda kurung, tetapi ketika melakukan operasi di luar tanda kurung, Anda harus menghitung (2 + (akar)5) sebagai suatu kesatuan.
Koefisien dan Tanda Akar
“Koefisien” adalah angka, jika ada, yang diletakkan tepat di depan tanda akar. Jadi misalnya, dalam ekspresi 2(akar)5, 5 berada di bawah tanda akar dan angka 2 berada di luar akar, yang merupakan koefisien. Saat sebuah akar dan koefisien diletakkan bersama, artinya sama seperti mengalikan akar dengan koefisiennya, atau untuk melanjutkan contohnya menjadi 2 * (akar)5.
Tanda Akar sebagai Ekspresi Pecahan
Tanda akar juga dapat digunakan sebagai cara lain untuk mengekspresikan eksponen pecahan. Dengan kata lain, akar kuadrat dari angka berapapun sama dengan angka tersebut dipangkatkan 1/2, akar kubik angka berapapun sama dengan angka tersebut dipangkatkan 1/3, dan seterusnya.
