Gradien adalah ukuran seberapa cepat nilai fungsinya berubah pada sebuah garis atau kurva. Pada garis lurus, gradien menggambarkan seberapa cepat garis naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif) saat bergerak ke kanan. Gradien juga dapat ditemukan pada garis singgung kurva. Saat mengerjakan kalkulus, gradien dikenal sebagai “turunan” sebuah fungsi.
Dalam hal ini, gradien dapat diinterpretasikan sebagai “laju perubahan” sebuah grafik. Misalnya, jika kita memasukkan nilai “x” yang lebih besar, seberapa besar nilai “y” berubah? Dengan memahami konsep gradien, kita dapat melihatnya sebagai sebuah sebab dan akibat yang dapat membantu kita memahami perubahan dalam grafik secara lebih rinci.
Mencari Gradien Sebuah Persamaan Linier
Gradien adalah kemiringan dan arah (naik atau turun) sebuah garis. Untuk mencari gradien sebuah garis, kita dapat menggunakan persamaan linier. Namun, untuk menggunakan cara ini, terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi:
- Tidak ada pangkat pada variabel
- Hanya ada dua variabel, keduanya tidak dalam bentuk pecahan (misalnya, tidak dalam bentuk )
- Persamaan dapat disederhanakan menjadi bentuk ; m dan b adalah konstanta (misalnya angka seperti 3, 10, -12, ).
Setelah memastikan syarat-syarat di atas terpenuhi, langkah selanjutnya adalah mencari angka di depan variabel x. Angka ini biasanya dituliskan sebagai “m” dan menentukan gradien. Jika persamaan Anda sudah dalam bentuk yang tepat, , lihatlah angka pada posisi “m” (jika tidak ada angka di depan variabel x maka gradiennya adalah 1). Itulah gradiennya! Ingatlah bahwa angka ini, m, selalu dikalikan dengan variabel, dalam kasus ini dengan “x”.
Atur Ulang Persamaan
Jika gradien tidak langsung kelihatan, maka persamaan harus diatur ulang. Kita dapat menambah, mengurang, mengali, dan melakukan proses lain untuk memisahkan sebuah variabel, biasanya variabel “y”. Ingatlah selalu, apa pun yang Anda lakukan pada satu sisi persamaan (misalnya menambahkan 3), lakukan juga pada sisi lainnya. Tujuan akhirnya adalah menghasilkan bentuk yang serupa dengan .
Mencari Gradien dengan Dua Titik
Pada suatu garis, jika persamaannya tidak diketahui, kita dapat menggunakan grafik dan mengambil dua titik untuk menentukan gradiennya. Untuk mencari gradien, ingat selalu keterangan berikut untuk membantu memeriksa bahwa hitungan Anda benar:
- Gradien positif bergerak naik ke arah kanan.
- Gradien negatif bergerak turun ke arah kanan.
- Gradien lebih besar berarti lebih curam. Gradien lebih kecil berarti lebih landai.
- Garis horizontal mempunyai gradien nol.
- Garis vertikal tidak memiliki gradien. Gradiennya “tidak terdefinisi”.
Untuk mencari gradien, cari dua titik dan tuliskan dalam bentuk (x,y). Gunakan grafik (atau dari soal) untuk mendapatkan koordinat x dan y dua titik pada grafik. Ambil dua titik dari bagian mana saja pada garis. Misalnya garis yang dimaksud melalui titik (2,4) dan (6,6).
Anda sedang melihat postingan: CARA MENCARI GRADIEN PERSAMAAN
Tandai Koordinat
Tandai titik x1, y1, x2, y2, untuk membedakan titik pada masing-masing pasangan. Melanjutkan dari soal sebelumnya, dengan titik (2,4) dan (6,6), tandai x dan y pada masing-masing titik. Hasilnya adalah sebagai berikut:
- x1: 2
- y1: 4
- x2: 6
- y2: 6
Masukkan titik-titik tersebut pada “Rumus Gradien” untuk mendapatkan gradien. Rumus berikut ini berguna untuk mendapatkan gradien pada sebuah garis dari dua titik: m = (y2 – y1) / (x2 – x1). Masukkan keempat angka ke dalam rumus dan sederhanakan:
- Koordinat titik: (2,4) dan (6,6).
- Masukkan koordinat ke dalam rumus: m = (6 – 4) / (6 – 2).
- Sederhanakan untuk jawaban akhir: m = 0.5.
Pahami Cara Kerja Rumus Gradien
Gradien sebuah garis adalah “Vertikal bagi Horizontal”: seberapa jauh sebuah garis naik secara vertikal dibagi seberapa jauh ia bergerak ke kanan secara horizontal. Nilai vertikal adalah selisih antara dua nilai-y (ingat, sumbu-Y bergerak ke atas dan ke bawah), dan nilai horizontal adalah selisih antara dua nilai-x (dan sumbu-X bergerak ke kiri dan ke kanan).
Menggunakan Kalkulus Diferensial untuk Mencari Gradien Sebuah Kurva
Untuk mencari laju perubahan (gradien) dari sebuah kurva pada suatu titik di garis, kita dapat menggunakan kalkulus diferensial. Gradien dapat dianggap sebagai laju perubahan pada posisi manapun, bukan hanya pada garis secara keseluruhan. Ada beberapa cara untuk menurunkan persamaan tergantung pada jenis fungsi yang digunakan. Sebelum melanjutkan, mari kita pelajari kembali beberapa turunan umum.
Cara Menurunkan Fungsi
Turunan paling sederhana adalah turunan persamaan polinomial sederhana yang dengan mudah dapat dilakukan dengan cara pendek. Cara ini akan digunakan pada metode berikut. Pertanyaan umum yang dapat diajukan mengenai gradien menggunakan turunan antara lain mencari “laju perubahan pada titik (x,y)”, persamaan garis singgung grafik, atau “gradien garis singgung pada titik (x,y)”.
Contoh Soal
Berapa gradien garis pada titik (4,56)?
Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita perlu menurunkan persamaan fungsi. Jika fungsi yang digunakan adalah , maka turunannya adalah . Kemudian, masukkan nilai x=4 pada hasil turunan untuk mendapatkan gradien. Gradien dari pada titik (4,56) adalah 22. Anda dapat memeriksa titik ini pada grafik jika memungkinkan, namun perlu diingat bahwa tidak semua titik memiliki gradien di dalam kalkulus.
