SECARA TRADISIONAL, dalam perasionalan pecahan, tidak diperkenankan untuk memiliki akar atau angka irasional pada penyebut (bagian bawah) pecahan. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu teknik untuk merasionalkan penyebut pecahan dengan mengalikan suku atau serangkaian suku tertentu yang dapat menghilangkan ekspresi akar tersebut.
Dalam dunia modern yang sudah menggunakan kalkulator, perasionalan pecahan menjadi lebih mudah. Namun, teknik merasionalkan penyebut pecahan masih sering diajarkan di sekolah dan dapat menjadi materi ujian. Dengan cara ini, para siswa diharapkan dapat memahami dasar-dasar matematika dengan lebih baik dan dapat mengaplikasikannya pada permasalahan yang lebih kompleks di masa depan.
Merasionalkan Penyebut Monomial
Untuk merasionalkan penyebut monomial, perlu diperiksa terlebih dahulu apakah ada akar pada penyebut. Jika terdapat akar kuadrat atau akar lain pada penyebut, maka harus dilakukan perkalian dengan suku yang sesuai untuk menghilangkan ekspresi akar tersebut. Namun, perlu diingat bahwa pembilang bisa saja memiliki akar dan tidak perlu dirasionalkan.
Sebagai contoh, jika terdapat pecahan 2/√5, maka perlu dikalikan dengan suku yang dapat menghilangkan akar pada penyebut. Kita bisa mengalikan baik penyebut maupun pembilang dengan akar penyebut, sehingga pecahan menjadi (2 x √5) / 5. Pecahan ini termasuk dalam suku monomial pada penyebut dan merupakan pecahan yang paling mudah untuk dirasionalkan.
Ketika melakukan perkalian untuk merasionalkan penyebut, baik penyebut maupun pembilang harus dikalikan dengan suku yang sama. Hal ini dapat dilakukan karena pada dasarnya kita hanya mengalikan pecahan dengan nilai 1. Setelah dilakukan perkalian, sederhanakan pecahan sesuai kebutuhan. Dengan demikian, pecahan sudah berhasil dirasionalkan.
Merasionalkan Penyebut Binomial
Sebelum melakukan rasionalisasi pada penyebut binomial, pastikan untuk memeriksa pecahan terlebih dahulu. Jika pecahan memiliki bentuk penjumlahan dua suku pada penyebutnya, minimal salah satunya merupakan bilangan irasional, maka tidak bisa dilakukan rasionalisasi pada pecahan dengan mengalikan pecahan dengan ekspresi itu pada bagian pembilang dan penyebutnya.
Hal ini disebabkan karena saat setidaknya salah satu dari suku pada penyebut merupakan bilangan irasional, maka suku persilangan akan memiliki akar yang membuatnya tidak bisa dihilangkan secara langsung.
Untuk melakukan rasionalisasi pada penyebut binomial, pertama-tama kalikan pecahan dengan konjugasi penyebutnya. Konjugasi dari suatu ekspresi sama dengan ekspresi itu sendiri dengan tanda yang dibalik. Misalnya, konjugasi dari (a+b) adalah (a-b).
Mengalikan pecahan dengan konjugasi pada pembilang dan penyebutnya membuat penyebut menjadi suku kuadrat yang tidak memiliki suku persilangan. Sehingga, dapat dilakukan perhitungan lebih lanjut pada pecahan.
Setelah melakukan perhitungan pada pecahan, sederhanakan pecahan sesuai kebutuhan untuk mendapatkan bentuk pecahan yang paling sederhana.
Bekerja dengan Resiprok atau Kebalikan
Sebelum menyederhanakan set suku yang memiliki akar, pastikan untuk merasionalkannya terlebih dahulu jika diminta untuk menuliskan resiprok atau kebalikannya. Gunakan metode merasionalkan penyebut monomial atau binomial, tergantung pada metode mana yang dapat diterapkan pada soal.
Tuliskan Bentuk Umum Resiprok
Resiprok diperoleh dengan membalikkan pecahan. Dalam ekspresi kita, ini sama dengan membaginya dengan penyebut 1. Namun, jika suku pada penyebut memiliki akar, maka kalikan dengan suatu bilangan yang dapat menghilangkan akar tersebut pada penyebut. Ingat bahwa Anda sebenarnya mengalikan ekspresi dengan 1 sehingga Anda harus mengalikan pembilang dan penyebutnya.
Mulai dengan Mengalikan dengan Sesuatu yang Dapat Menghilangkan Akar pada Penyebut
Jika set suku pada penyebut memiliki bentuk penjumlahan dua suku, minimal satu di antaranya merupakan bilangan irasional, maka kalikan pecahan dengan konjugasi dari penyebutnya. Konjugasi dari suatu ekspresi sama dengan ekspresi itu sendiri dengan tanda yang dibalik. Misalnya, konjugasi dari √a+√b adalah √a-√b. Karena kedua suku dikuadratkan, akar kuadrat apa pun pada suku persilangan akan hilang.
Sederhanakan Sesuai Kebutuhan
Setelah mengalikan dengan sesuatu yang dapat menghilangkan akar pada penyebut, sederhanakan ekspresi sesuai kebutuhan. Jangan terkecoh dengan fakta bahwa resiprok sama dengan konjugasinya. Ini hanya kebetulan.
Merasionalkan Penyebut dengan Akar Kubik
Periksa Pecahan
Sebelum merasionalkan penyebut dengan akar kubik, periksalah pecahan terlebih dahulu. Mungkin saja dalam soal terdapat akar kubik atau akar pangkat tiga pada penyebut, meskipun hal ini lebih jarang ditemukan.
Tuliskan Kembali Penyebut dalam Bentuk Eksponen
Langkah berikutnya adalah menuliskan kembali penyebut dalam bentuk eksponennya. Mencari ekspresi yang akan merasionalkan penyebut dalam soal ini agak berbeda karena tidak bisa langsung mengalikan dengan akarnya.
Kalikan dengan Sesuatu yang Membuat Eksponen pada Penyebut Bernilai 1
Setelah itu, kalikan bagian atas dan bawah pecahan dengan sesuatu yang membuat eksponen pada penyebut bernilai 1. Misalnya, jika kita memiliki akar kubik pada penyebut, kita kalikan bagian atas dan bawah dengan akar pangkat dua dari penyebut. Ingatlah bahwa eksponen mengubah soal perkalian menjadi soal penjumlahan dengan sifat.
Metode ini juga dapat digunakan untuk akar pangkat n pada penyebut. Jika kita memiliki akar pangkat n pada penyebut, kita dapat mengalikan bagian atas dan bawah dengan akar pangkat n-1 dari penyebut. Hal ini akan membuat eksponen pada penyebut bernilai 1.
Sederhanakan Sesuai Kebutuhan
Setelah melakukan langkah-langkah di atas, sederhanakan pecahan sesuai kebutuhan. Jika Anda harus menuliskan jawaban dalam bentuk akar, faktorkan keluar.
